¡Un incírculo mixtilíneo salvaje aparece!

Una de las configuraciones más ricas de la geometría moderna es la de los incírculos mixtilíneos. Un incírculo mixtilíneo se define como el (único) círculo que es tangente a dos lados de un triángulo $\bigtriangleup ABC$ y que toca internamente al círculo $(ABC)$. Evidentemente, todo triángulo posee tres incírculos mixtilíneos.

La figura a continuación muestra el $A$-incírculo mixtilíneo, el círculo tangente a $AB$, $AC$ y $(ABC)$ en $U,\ V$ y $T$, respectivamente.

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Tres propiedades fundamentales del $A$-incírculo mixtilíneo son:

1. La recta que une el punto medio del arco $\widehat{BAC}$ (llamémoslo $M$) y el incentro de $\bigtriangleup ABC$ (digamos $I$) pasa por $T$.
2. El incentro de $\bigtriangleup ABC$ yace sobre $UV$. Es más, es el punto medio del segmento $UV$.
3. Las rectas $TU$ y $TV$ bisecan los arcos $\widehat{BA}$ y $\widehat{AC}$ que no contienen a $C$ y $B$, respectivamente. Esto es, si $X = \overline{TU}\cap (ABC)$ y $Y = \overline{TV}\cap (ABC)$, entonces $\widehat{XB} = \widehat{XA}$ y $\widehat{YC} = \widehat{YA}$.

Comúnmente, estos resultados bastan para resolver la mayoría de problemas de olimpiada que involucran al $A$-incírculo mixtilíneo. Un tratamiento más completo puede consultarse aquí.

Para ilustrar la utilidad de estas propiedades, en esta entrada resolveré el problema 6 de la Olimpiada Femenil Europea de Matemáticas (EGMO por sus siglas en inglés).[^1]

Problema 6. Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Omega$. Se denota por $S_b$ y $S_c$ los puntos medios de los arcos $AC$ y $AB$ que no contienen el tercer vértice del triángulo, respectivamente. Sea $N_a$ el punto medio del arco $BAC$ (el arco $BC$ que contiene a $A$). Sea $I$ el incentro de $ABC$. Sea $\omega_b$ el círculo que es tangente a $AB$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_b$, y sea $\omega_c$ el círculo que es tangente a $AC$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_c$. Demuestre que la recta $IN_a$ y la recta que pasa por las intersecciones de $\omega_b$ y $\omega_c$, se intersecan sobre $\Omega$.

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Solución. Notemos que la recta $IN_a$ no es relevante sino hasta el final del enunciado. De hecho, podemos descartarla al recordar que, por la propiedad 1, $IN_a$ corta a $\Omega$ en el punto de tangencia del $A$-incírculo mixtilíneo con $\Omega$, digamos $T$. Por consiguiente, el problema en realidad se trata de probar que el eje radical de $\omega_b$ y $\omega_c$ pasa por $T$.

Consideremos la siguiente

Afirmación 1. Los puntos de tangencia de $\omega_c$ con $AB$ y de $\omega_b$ con $AC$ están sobre la recta $S_bS_c$.

Prueba. Sea $D$ el punto de contacto de $\omega_c$ con $AB$, mientras que $E$ es el punto de contacto de $\omega_b$ con $AC$. Por el resultado 3, $SD$ pasa por el punto medio del $\widehat{AB}$ que no contiene a $C$, es decir, $S_c$. Análogamente, $S_cE$ pasa por $S_b$. Luego, $S_c,\ D,E$ y $S_b$ son colineales. $\square$

Con este resultado en mente, podemos explotar la configuración del problema. Sean $P$ y $Q$ los puntos de tangencia del $A$-incírculo mixtilíneo con $AB$ y $AC$, respectivamente. Además, consideremos a $R = \overline{TS_c}\cap \omega_b$, $S = \overline{TS_c}\cap \omega_c$. Por la proposición 4, $S_c$ está sobre $TP$ y $S_b$ sobre $TQ$. Con esto, podemos corroborar que

Afirmación 2. El hexágono $DEQSRP$ es cíclico.

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Prueba. Observemos que

$\angle S_cDP = \left(\widehat{S_cB} + \widehat{AS_b}\right)/2 = \left(\widehat{S_cA} + \widehat{AS_b}\right)/2 = \angle S_cTS_b$

lo que implica que $DPTS_b$ es cíclico. Al ser $S_c$ el exsimilicentro de $\omega_c$ y $\Omega$, debe ocurrir que $ER \parallel S_bT$, lo que implica que $DPRE$ también es cíclico. De forma similar podemos probar que $EQTS_c$ y $EQSD$ son cíclicos.

Por otro lado, es sencillo probar que $\bigtriangleup DAE$ es isósceles, es decir, $D$ es la reflexión de $E$ con respecto a $AI$. Además, es bien conocido que $P$ y $Q$ son reflejos uno del otro respecto de $AI$ (propiedad 2). Concluimos que $DEQP$ es un trapecio isóceles y por ende cíclico. En resumen, $DPRE$, $EQSD$ y $DEQP$ son cíclicos, lo que conlleva al resultado deseado. $\square$

Finalmente, la afirmación 2 implica que $PRSQ$ es cíclico. Al ser $T$ el exsimilicentro del $A$-incírculo mixtilíneo y $\Omega$, resulta que $PQ \parallel S_bS_c$. Por el teorema de Reim, $S_bSRS_c$ es cíclico. Por consiguiente $TR\cdot TS_c = TS\cdot TS_b$, lo que significa que $T$ tiene potencias iguales con respecto a $\omega_b$ y $\omega_c$, por ende, está sobre su eje radical. La solución está completa. $\square$

[^1]: El resto de problemas puede encontrarse aquí.