El ejercicio de las siete (+) soluciones

Uno de los aspectos detrás de la belleza de las matemáticas es la variedad de enfoques que pueden llevar a resolver un problema. Hace poco me topé con un ejercicio sencillo que encapsula satisfactoriamente esta idea: el problema 5 del nivel 6 del examen presencial para admisión a la Academia Sabatina de Jóvenes Talento (ASJTNIC). A continuación, presento el enunciado del ejercicio y soluciones comunicadas por colegas instructores:

Problema. Dado un cuadrado $ABCD$, los puntos $E$ y $F$ están sobre los lados $BC$ y $CD$. Se tiene que $BE + FD = EF$. ¿Cuánto mide el ángulo $EAF$?

{: w = "100"}

En lo que sigue, $\ell$ denota el lado del cuadrado $ABCD$.

Solución 1 (por Oscar Quintanilla). Sean $BE = x$ y $DF = y$. Tenemos que $CE = \ell - x$ y $CF = \ell - y$. Como $BE + DF = EF$ tenemos que $EF = x + y$. Aplicando el teorema de Pitágoras en el $\bigtriangleup CEF$ conseguimos que $(\ell - x)^2 + (\ell - y)^2 = (x+y)^2$, de donde es sencillo obtener que $\ell^2 - \ell x - \ell y = xy$. Usando este dato, el área del triángulo $CEF$ corresponde a

\begin{equation*} \dfrac{CE\cdot CF}{2} = \dfrac{(\ell - x)(\ell - y)}{2} = \dfrac{(\ell^2 - \ell x - \ell y) +xy}{2} = xy \end{equation*}

{: w = "100"}

Además, veamos que $[ABE] = \ell x:2$ y $[ADF] = \ell y:2$, de modo que

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